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フィボナッチ数の魅力

フィボナッチ数の魅力
宇宙のブラックホールと固体の量子臨界点のアナロジー。数学的な特異点であるブラックホールの周囲の時空が歪むのと同様に、絶対零度における特異点である固体中の量子臨界点も、有限温度の物性に対してさまざまな影響を与える。

フィボナッチ数の魅力

『33 の素敵な数学小景』というちょっと変わった、素敵なタイトルが付けられている書籍である。 ちょっと手に取ってみたくなるタイトルではないだろうか。原題は『Thirty-three miniatures』。 Jiri Matousek 氏の原著を徳重典英氏が翻訳されたものである。原著の副題には「Mathematical and Algorithmic Applications of Linear Algebra」と付けられている。日本語の方の副題は「フィ ボナッチ数、タイル張り、アルゴリズムを線形代数で眺めてみると…」となっている。これらの 副題から分かるように、本書は線形代数が応用される場面を種々のトピックで紹介する、とい う趣旨で書かれている。『33 の素敵な数学小景』のタイトル通り、各章ごとに1 トピック、全部 で33 トピックが紹介されており、各トピックはコンパクトに(最初の方は2~4 ページ、後半 でも8 ページ程度)まとめられている。この各トピックの分量は、原著者の序文によると、A4 版4 ページに収まる分量というのが目安で、これは大学での90 分授業にちょうどよい分量にも なっているとのこと。また、各トピックは(概ね)やさしいものから難しいものへと並べては あるものの、各々独立していて、どのトピックから読み始めてもよいように書かれている。こ の構造は本書をいろいろな意味で魅力的なものとしている。一つは、構えずに気軽に読めるこ と。ちょっとした休憩時間にでも手に取って手ごろな章を1 つだけ選んで読んでもよい。順番 に読んでいく必要はなく、ちょっと開いてみて面白そうな章を読み始めてもよい。また、時間 に応じて1 章だけでも、いくつかの章を続けて読んでもよい、という感じに読むこともできる。 しっかり時間をかけて深く理解しよう、という読み方をする場合でも、一つ一つが短くコンパ クトになっているので、腰を据えて時間をとるということへのハードルを低くできる。もう一 つは授業の中に入れ込む題材に利用しやすいことである。1 トピックの目安が大学の90 分授業 にちょうどよい分量ということであるが、トピックによってはもっと短いものもあるし、長めの ものでも説明する部分をかいつまめば、線形代数やその応用を扱う授業の中で、線形代数のこ ういう概念はこんなところにも役立つ、という例の紹介として使いやすい。実際、評者は昨年 度に1 年間だけの担当で、大学2 年次生向けに1 年次の数学を振り返りながら応用的なことを 紹介するという趣旨の授業科目を担当したが、線形代数の部分の題材として本書から数個のト ピックを使わせていただいた。(この授業の担当を引き受けたことの背景に本書が念頭にあり、 フィボナッチ数の魅力 本書のいくつかのトピックを題材に選ぶことで、自分自身も楽しみながら講義の準備をするこ とができた。)

内容であるが、主に離散数学・組合せ論の題材が並んでいる(このラインナップは訳者による 付録A に各トピックの概略や線形代数のどのような性質が使われるかなどが概説されていて、 これを読むと全体を容易に見渡せるようになっている)のであるが、割と古典的で多くの人が よく知っているか少なくとも耳にしたことはありそう、というようなものから、本書を読むま で聞いたこともなかった、というマニアックな感じの題材まで、幅広くさまざまである。(聞い たことのない、と言っても、いずれのトピックもこれまでに知られていたか、もしくは、発表 されている結果の紹介であり、各章の章末にはその情報源についての情報も付けらている。)冒 頭の2 つ、ミニチュア1 とミニチュア2(本書では、各章ごとのトピックはそれぞれ「ミニチュ ア」と呼ばれ、各章はミニチュア1、ミニチュア2、のように数えられている)は日本語版の副 題にもあるフィボナッチ数列を取り上げており、この題材、特にミニチュア2 で紹介されるフィ ボナッチ数の一般項の公式は多くの人が知っていることだろう。しかしながら、ミニチュア1 の行列を使った計算法(とその計算量の説明)には(この種の話をこれまでに聞いたことがな ければ)新鮮な気づきがあり、ミニチュア2 のフィボナッチ数列の一般項の公式についての線 形代数的な解釈も、なるほど、と思うところがある。一方、ミニチュア3 に進むと、要素数n の集合中にm 個の部分集合C1,C2. Cm をとり、どの部分集合Ci も要素数が奇数、どの2 つの部分集合の共通部分Ci∩Cj も要素数が偶数、という条件を課すと、このような部分集合 の個数mはnを超えない、ということが(オッドタウンの住民が作るクラブという話として) 紹介されている。このようなことをよく聞き知っているという方は少数派なのではないだろう か。極値集合論の話題なのでその方面に造詣のある方はそうでもないかもしれないが、結果の 主張自体にも驚きがある。そして、さらに、この結果はちょっとした翻訳をすることにより、あ る形の行列の階数の評価によって得られることが説明され、ここでまた新しい驚きがある。し かも、このミニチュア3 は設定の説明から証明の解説まで全部含めて1 ページちょっとという 短さである。まさに「ミニチュア」「数学小景」と呼ぶにふさわしい作品と言える。この後に並 べられている残り30 個のミニチュアについては、ぜひ実際に本書を手に取って読んでみていた だきたい。どの作品も明快に、かつ、コンパクトにまとめられており、楽しみながら読まされ るだろう。

各ミニチュアの中で用いられる線形代数であるが、各ミニチュアごとに種々様々な事柄が使 われており、線形代数としての基礎知識の要求レベルはそれなりに高いようではある。先述し た評者の授業での題材としての利用でも、やはり1 年生で線形代数を学んだ後にそれをベース として次の段階の授業、というレベルでは(学生の反応を見る感じで)ちょっとレベルが高い ようでもあった。(評者の教えている相手が数学科の学生ではなく工学系の学生であるため、と いう面もあるが。)しかし本書、日本語版には訳者による付録として、必要となる線形代数の知 識を一通り概説されている。(線形代数だけでなく、付録B:集合と写像、付録C:代数構造、 付録D:線形代数、付録E:グラフ、付録F:アルゴリズム、計算量、のように概説がつけられ ている。)読んでいて「これはどうだったかな?」ということに出会ったときには、この付録を 一通り眺めれば理解の助けになるだろう。また、各ミニチュアを読みながら、使われている線 形代数の知識の背景はどうなっていたか、などを考え直したり調べたりしながら丁寧に読めば、 線形代数の再理解の機会ともなるだろう。

本書、実は評者は出版前に訳者からこの本の翻訳をしているということで、出版前の原稿を 読ませていただいたのがこの書の存在を知ったきっかけであった。原著者の研究分野や本書の 扱うトピックのいくつかにそれなりに近い分野で研究をしてきているのだが、本書の原著の存 在にそれまで気づいておらず、訳者から翻訳しているという話を聞いて本書の存在に気づいた のは幸運だった。『「訳者による付録」の前書き』の中で、訳者は「マトウシェックの本だから 面白いだろうとは思ったが、果たして実際読んでみたら、とても面白かったのである。あまり に面白くて全部読んだ。」と書いている。まさにこの文章が表しているように、一つ一つのミニ チュアの面白さに引き込まれ、次は何が書いてあるのだろう? と、どんどんと読み進めたい気 持ちにさせられる。これは、上述のように各ミニチュアが数ページの長さで、それぞれ独立す る形で並べてあるという構成や、幅広く選ばれているトピックの内容に依るのであるが、それ 以上に、それぞれのミニチュアに対するコンパクトで明快に本質的な部分を解説していく説明 力に依るのだと思う。原著者のJiri Matousek 氏であるが、原著の出版が2010 年、本訳書の出 版が2014 年5 月であるが、翌2015 年3 月に51 歳の若さで亡くなった。幅広く第一人者として 活躍されてきた氏の早逝が悼まれる。

ゴールデンスパイラルまたはフィボナッチの55の入れ墨(およびそれらの意味)

これは、フィボナッチ数列とその黄金比との関係の場合です。 これを少し見てみましょう。 フィボナッチ数の魅力 フィボナッチ数列は、この一連の数の最後の0,1,1,2,3,5,8,13,21,34つの数を毎回加算して次の数を取得することによって形成される一連の数であり、これは無限にあります。 これにより、次のようになります。0. これらの数値は、前の1つの数値を加算することによって得られます:1 + 1 = 1、2 + 1 = 2、3 + 2 = 3、5 + XNUMX = XNUMXなど。

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一方、黄金比、黄金比、さらには神の比率としても知られている、いわゆる黄金比があります。 これは、1つの線分の間の比率を表す無理数です。 これは1,618からXNUMXです。 この比率は、美的と見なされるものに関連しており、自然、芸術、建築に見られます。

これらのXNUMXつの数式は密接に関連しています。 よく知られている表現はフィボナッチスパイラルです。 フィボナッチ数列に従う正方形、長方形、曲線に基づいて形状を作成すると、全体的な結果とその部分が黄金比に対応します。 真の美しさ。

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フィボナッチスパイラル:ユニークなデザイン

最も人気のあるデザインのXNUMXつは、正方形と曲線を特徴とするスパイラル自体です。 それはどんなサイズでもそして体のどんな部分でも入れ墨することができます。 最も一般的に使用されるボディワークスタイルは、ミニマリズム、スケッチ、幾何学、点描画、ブラックワークです。 黄金比やフィボナッチ数などの数値を追加するものもあります。

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最後に、このスパイラルを任意の画像に含めることができます。 羽、枝、森、頭蓋骨が最も人気のあるデザインです。 このタイプの構成では、全体的な調和を失うことなく、これらのスタイルのタトゥーを組み合わせることができます。

高校生・受験生が東大を
もっと知るためのサイト

それではまずは1冊目の『浜村渚の計算ノート』からです。ストーリーを一言で言うと「数学を用いて事件を起こすテロリストたちと、女子中学生浜村渚が、数学で戦う」といった話です。犯行の背後にある規則性(被害者の名前や、犯行現場の地名に法則がある)や、被害者からのメッセージに数学が関係しており、それを浜村渚が見抜くというのが主なパターンです。
私がこの小説を読んだのは高校2年生の冬頃。本格的に受験を意識し始め、同時に自分の数学力のなさを痛感していた時期です。そのような時に同級生にこの作品をすすめられたのが、読んだきっかけです。
私にとってそれまでの数学と言えば、教科書で勉強して問題を解くといったものでした。実際多くの方にとっては同様なのではないかと思います。しかし、この作品には大学受験で出されるような数学以外の問題も多数登場します。例えば最初に登場する「四色問題」はエリアの塗り分けという、一見するとパズルに見える問題ですが、立派な数学上の定理となっています。他にも、中学で習って以来慣れ親しんでいる(?)円周率に関しても、新しい視点を得ることができました。こうした話を読むと、不思議と受験勉強へのモチベーションも上がったことを覚えています。
最後に、中学生が数学に関する謎を解くという設定について説明します。この作品では、教育課程において理系科目が軽視され過ぎたことで中学生や帰国子女以外には数学ができる人がいないという、現実とは異なる特殊な設定がされています。この小説は確かに数学の話が中心ではありますが、教育関係を志している方にも読んでいただきたい作品でもあります。(ちなみにこれと関連した内容は、竹内薫氏による解説にも書かれています。)

数学とは何か? ちょっと抽象的な数学小説!

『青の数学』

そして大学に入ってから読んだのが『青の数学』です。こちらは数学オリンピック予選に出場する高校生たちの物語です。主人公の栢山(かやま)が、国際数学オリンピック2連覇の京(かなめど)に出会う場面から始まるこの作品。作品全体を通して「数学とは何か」「なぜ数学をやるのか」といった問いが登場し、これこそ大学生におすすめしたい内容です。
私がこの作品を読んだのは大学1年生の夏頃、そろそろAセメスター(秋学期)が始まる時期でした。正直に言うと、抽象度が一気に増した大学数学は難しく、高校までとのギャップを感じていました。そんな時にこの作品を読んだことで、数学の見方が変わったと思います。 フィボナッチ数の魅力
作品内では大学受験のような数学の問題から、非常に抽象的な話題まで幅広く登場します。それを読んでいるうちに、大学の数学は、高校までと全く異なるわけではないのだと思い始めました。具体的に言えば、大学では、極限や連立方程式、数列の特性方程式など高校までに習って来たことについて、高校とは異なる方法でさらに深く勉強するような内容もあるということに気付かされました。だからと言って数学が得意になるかはまた別の話ではありますが…。とにかく学問としての数学に対する見方が大きく変わる作品です。
この本では参考資料として、数学に関連した書籍が多数紹介されています。中には高校生や大学1年生には難しいものもありますが、これらを手に取ってさらに知識を深めることができます。また、教授や大学院生も登場し、数学科で学ぶ数学の雰囲気を感じることができるので、数学科への進学について意識したことのない方でも、興味がわく内容だと感じました。まだ進路に迷っている方もぜひ読んでみてください。この本が運命の出会いとなるかもしれません。

美しき数学モデルが魅せる準結晶の不思議な性質

古代ギリシアのミロのヴィーナスや、レオナルド・ダ・ヴィンチのモナ・リザといった芸術作品に対し、我々が美しさを感じるのはなぜでしょうか? これらの作品のなかには、「黄金比」と呼ばれる、ある数学モデルから導き出される、特徴的な数が潜んでいるからとされています。黄金比τ(タウ)は、フィボナッチ数列(1, フィボナッチ数の魅力 1, 2, 3, 5, 8,…)の隣り合う2つの数の比の極限値であり、1.618…という無理数です。この比率1:1.618…は、最もバランスのとれた長方形の縦横比とされており、数々の建造物やロゴなどに用いられています。こうした一見人工的な数である黄金比τが、自然界にも潜んでいるとしたら驚くべきことではないでしょうか? その一例が「準結晶」と呼ばれる物質です。

(左)正方形を並べて作られる正方格子。格子点(黒丸)は縦横に等間隔に並んでいる。(右)黄金比τを面積比に持つ、2種類のひし形を並べて作られる2次元ペンローズ格子。ペンローズ格子は、並進対称性を持たず、5回回転対称性、黄金比τ倍でのスケール変換といった、通常の周期格子とは異なる性質を持つ。

多面体がつくり出す原子集団

一方、正方格子のような周期格子上に、準結晶と同じ多面体クラスターが並ぶ物質が存在し、これを「近似結晶」と呼びます。近似結晶は、準結晶と同じ局所構造(多面体クラスター)を持つとともに、並進対称性(周期性)をも持っています。なお、近似結晶にも種類があり、1/1近似結晶、 2/1結晶などと呼ばれます。ここで、1/1や 2/1などの分数は、無理数である黄金比を近似する数列(フィボナッチ数列と関係)、1/1, 2/1, 3/2, 5/3, ……に由来しています(これらの有理分数が黄金比を近似するものであることから、それに対応する物質は近似結晶と呼ばれています)。ここにも、数学と物質との不思議な関係を見て取ることができます。

準結晶や近似結晶を構成する原子クラスターとその内部構造。さまざまな多面体が、入れ子状に重なり合っている。物質の性質(磁性など)の主役を担うイッテルビウム原子は、外側から3つめのシェル(正20面体)を形成する。

ミクロな構造とマクロな性質の関係

(左上)孤立した原子における電子雲の広がり。(左下)原子間距離を小さくすることにより、電子が隣の原子に移動する。(右上)準結晶中のイッテルビウム原子の価数と6次元格子定数(クラスターサイズに対応)の関係。臨界サイズを境に、価数が急激に変化する。(右下)磁化率と6次元格子定数の関係。同じ臨界サイズにおいて、磁化率は1桁以上もの大きな変化を見せる。

固体中の量子相転移

宇宙のブラックホールと固体の量子臨界点のアナロジー。数学的な特異点であるブラックホールの周囲の時空が歪むのと同様に、絶対零度における特異点である固体中の量子臨界点も、有限温度の物性に対してさまざまな影響を与える。

参考文献
Concomitant singularities of Yb-valence and magnetism at a critical lattice parameter of icosahedral quasicrystals and フィボナッチ数の魅力 フィボナッチ数の魅力 approximants.
Scientific Reports 10, 17116 (2020), DOI:https://doi.org/10.1038/s41598-020-74124-7
Keiichiro Imura, Hitoshi フィボナッチ数の魅力 Yamaoka, Shinjirou Yokota, Kazushi Sakamoto, Yoshiya Yamamoto, Takuma Kawai, Keisuke Namba, Shinnosuke Hirokawa, Kazuhiko Deguchi, Nozomu Hiraoka, Hirofumi Ishii, Jun’ichiro Mizuki, Tsutomu Ishimasa, and Noriaki K. Sato

この記事を書いた人

井村 敬一郎 名古屋大学 大学院理学研究科 助教
名古屋大学大学院理学研究科博士課程修了後、日本学術振興会特別研究員、分子科学研究所博士研究員を経て2012年より現職。結晶育成、高圧・低温物性、分光などの実験手法を用い、物質を構成する原子の電荷(価数)揺らぎが引き起こす、新しい物理現象の解明を目指して研究を進めています。

カリフラワー特有の「フラクタル構造」が生まれるメカニズムが解明される

フラクタルとは「自己相似性」といわれる概念で、幾何学的パターンが異なる倍率で何度も繰り返される構造のこと。具体的な例としては、ロマネスコのつぼみがしばしば挙げられます。ロマネスコのつぼみの1つ1つは円すい状で、らせんを描きながら並び、大きな円すいを形成します。そして、その大きな円すいがさらにより大きな円すいを形成し……というように、規則正しいらせんを描きながら円すいを繰り返すのが、ロマネスコのつぼみの特徴です。


ロマネスコはフラクタル構造が特に目立ちますが、カリフラワーにもロマネスコと同じようなフラクタル構造が存在します。さらに、このフラクタル構造の基となっているらせんを数えると、「フィボナッチ数」が見えてくることも知られています。


なぜカリフラワーにフラクタル構造が生まれるのかは不明でしたが、カリフラワーと同じアブラナ科のシロイヌナズナで、非常に近い遺伝メカニズムが明らかとなっています。

アブラナ科の植物では、花が咲くときにまず花序ができ、そこから花芽が生じます。この花序の先端にあるシュート頂分裂組織が花芽に分化する際に必要な遺伝子に異常があると、花序の先端にまた花序ができ、その花序の先にさらに花序ができ……というように、花序が繰り返し形成されてしまい、結果としてカリフラワー状のフラクタル構造を生じることがわかりました。以下の画像は、突然変異で枝の先端にカリフラワー状の組織が形成されたシロイヌナズナの写真です。

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