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フィボナッチ数の魅力

フィボナッチ数の魅力
著者: 中村滋 この作品のアーティストの関連作をお届け!アーティストメール登録 書籍 出版社:日本評論社
発売日: 2002年9月

離散数学「数え上げ理論」

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フィボナッチ数と黄金比【第77号】

ローマ数字では 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 が フィボナッチ数の魅力 I, II, III, IV, V, フィボナッチ数の魅力 VI, VII, VIII, IX, X になります.また 50, 100, 500, 1000 はそれぞれ L, C, D, M になります.基本的には大きい数字から小さい数字を並べて,全てを足し合わせます.例えば2021は1000が二つ,10が二つ,1が一つですからMMXXIになります.また10までの数字と同じく,小さい数字を大きい数字の左側に書いた場合は,大きい数字から小さい数字を引きます.例えば300は100が三つなのでCCCですが,400は500から100を引くのでCDになります.

と書かれているのですが,単語の先頭の文字だけ拾っていくと MDCIII つまり1603で,エリザベス1世の崩御の年を示しています.

自然界に出てくるフィボナッチ数

ヒマワリの種 (L. Shyamal, CC BY-SA 2.5)

美術で見かける黄金比

数学者はよく n 番目のフィボナッチ数を F(n) と書きます.例えば F(0) = 0, F(1) = フィボナッチ数の魅力 1,F(2) = 1, F(3) = 2 ですね.

フィボナッチ数 F(n) と F(n-1) の比率のことを一般に φ(n) と書きます.簡単に書くと

φ(n) = F(n) / F(n-1)

ですね.ギリシア文字φは「ファイ」または「フィー」と呼びます.「ダ・ヴィンチ・コード」のロバート・ラングドン教授は φ を「フィー」と呼んでいました.

例えば φ(2) = F(2)/F(フィボナッチ数の魅力 1) = 1/1 なので φ(2) = 1 です.また φ(3) = F(3)/F(2) = 2/1 フィボナッチ数の魅力 なので φ(3) = フィボナッチ数の魅力 2 です.もう少しお付き合いください.今度は φ(4) = F(4)/F(3) = 3/2 なので φ(4) = 1.5 です.このように n が大きくなっていくと φ(n) の値は大きくなったり小さくなったりしながら,ある値に近づいていきます.

そして n がうんと大きくなったとき φ(n) の値は 1.618… になります.この値は「黄金数 (golden number)」と呼ばれています.黄金数のことは単に φ と書きます.

長方形の縦横を 1:φ の比率にすると,人間の目には大変心地よく見えるようで,この比率のことを「黄金比」と呼びます.例えば「名刺」の縦横比は黄金比にかなり近いです.日本の名刺の一般的なサイズは55ミリメートル掛ける91ミリメートルなので,縦横比は 55:91 ですが,これはおおよそ 1:1.65 なので 1:φ に近い数字になります.

またある長さを 1:φ になるように分割することを「黄金分割」と呼びます.黄金分割のような直線上の比率も同じく「黄金比」と呼びます.黄金比は他にも,正五角形の頂点を結んだ「星形」の辺の比率に現れたりもします.

幾何学図形に黄金比が現れる例.正五角形の頂点を結んだ星形にも黄金比1:φが現れる.

ギザの大ピラミッド (Matson Collection - Library of CongressCatalog, Public Domain)

ピラミッドに現れる黄金比?--大ピラミッドの b:a が 1:φ に「近い」

そこで大ピラミッドの設計でも「黄金比を意識したはずだ」という意見が世の中にはあります.古代エジプト人が好んだ,各辺の長さの比率が「3:4:5」の直角三角形の場合,底辺(3)と斜辺(5)の長さの比率は 3:5 すなわち,おおよそ 1:1.667 になります.この値は 1:φ に近いため,古代エジプト人が「3:4:5」の直角三角形を好んだのではないか,またピラミッドの角度も「3:4:5」の直角三角形から決めたのではないか,とする説があります.

残念ながら,この「黄金比ピラミッド」説はかなりあやふやです.そもそもピラミッドの斜面の角度が 3:5 になっていませんし.

アップル社のロゴ (Thiago Barcelos)

例えばアップル社のロゴにはフィボナッチ数と黄金比が隠されていることが,デザイナのティアゴ・バルセロス (Thiago Barcelos) 氏によって発見されています.

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著者: 中村滋 この作品のアーティストの関連作をお届け!アーティストメール登録 書籍 出版社:日本評論社
発売日: フィボナッチ数の魅力 2002年9月

この商品の説明

著者/アーティスト

A 序章(“フィボナッチ数”って何?;フィボナッチ数のルーツ ほか);B 基本編(フィボナッチ数入門;リュカ数との交流 ほか);C インタールード(ゲームとパラドックス;黄金分割 ほか);D 発展編(生成関数;チェビシェフ多項式 ほか);付録(フェルマの定理、行列、収束半径;問題の略解 ほか);資料編(レオナルド・ピサノの自伝;リュカの画期的な論文「単周期的な数値関数の理論」 ほか)

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フィボナッチ数列・リュカ数列・・・黄金比

もっともそれぞれの級に明確な境界を決めることには、英語学習という観点からは意味がないことなので、その辺は曖昧さがあって構わなくどんな方法でも良いのですが、最高水準特進問題集、シリウス発展編Vol3、もしくは、Progress in English R Book3のレベルまではマスターしているでしょうか、ということでしょう。そして、その部分こそが、61.8%を占める部分なのです。残りの38.2%は、2級の過去問を使って、語彙力強化や演習で埋めていくのです。そして、その努力は、さらに上の級の学習の足がかりとなることでしょう。

0から1を生み出す方法

上のグラフを注意深く見てみると、英検5級にはオレンジ色の基礎の部分がありませんね。それもそのはず、英検は5級からスタートするからなのです。学習のやりかたを理解しや学習リズムが整いさえすれば、家庭学習で少しずつ級を上げることが可能でしょうが、最初はうまくいかないかもしれません。ドミノ倒しのように、最初だけは外部の力(学校の授業など)が必要かもしれない、とこのグラフは語っている気がしました。小学校から本格的に英語の授業が始まるらしいのですが、小年生の子を持つ親としては、まずは子供の英語への関心度を見る目的で、宿題等のサポートをしながら、折をみて、英検5級の過去問をさせてみると良いのかもしれません。学習者との相性もあるのでなんとも言えませんが、その後は、Progress in Englishを使い、基礎学力の向上(グラフのオレンジ色の部分)に努めるとともに、語彙力向上や演習を目的に、英検の過去問(薄いオレンジ色の部分)を投入していくと良いでしょう。

最後に人生訓!?

余談2
「前の2つの項を足すと現在の項になる」とは、私たちの日々の行動や人生選択についても当てはまりそうです。

初項(溜まったマイナス: -1000)に対して、第2項(リカバリー)では「黄金数の逆数 x 1000」に近い値を設定してみました。第3項以降は「前の2つの項の和」としています。面白いことがわかりましたね。マイナスとプラスが交互になっていたものが、①の場合には第9項以降で、②の場合には第11項以降で、プラスに転換されています。

フィボナッチ数列とは? 問題に隠れた規則性に気づけるようにしよう

中学入試では、並べられた数字から規則性を見つけ出す問題がよく出題されます。数列で有名なものといえば、等差数列、等比数列、階差数列などですが、ひときわ目立つ名前の数列があります。それがフィボナッチ数列です。名前からして異彩を放っていますが、その性質も神秘に満ちたもので、魅了されてしまった科学者も多くいるほどです。今回は中学受験に向けてフィボナッチ数列にどう対処すべきかを、例題を交えながら解説します。

フィボナッチ数列とは?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, フィボナッチ数の魅力 89, 144……

まずは規則性を理解する

差を計算すると、フィボナッチ数列らしき数字が出てきました。フィボナッチ数列は、直前の2つの項の数を足したものが次の項の数になる数列です。そのためこのような結果になるんですね。規則自体はとてもシンプルです。一度でもフィボナッチ数列を見たことがあれば、規則性はすぐに理解できるでしょう。

自分で書いてみると簡単さがわかる

「場合の数の問題」にフィボナッチ数列が現れる

【例題1】 階段の登り方は何通り?

4段目までの登り方は、「2段目まで登ってから4段目に到達する2通り」と「3段目まで登ってから4段目に到達する3通り」があるので、合計5通りです。つまり、4段目までの登り方の「場合の数(5通り)」は、2段目までの登り方の「場合の数(2通り)」と、3段目までの登り方の「場合の数(3通り)」の合計になるのです。まさにフィボナッチ数列のような関係になっています。

6段目までの登り方であれば、図を描いて場合分けをしていけば力わざで解けてしまう場合もあります。しかし、15段目までの登り方を答えさせる問題があったらどうでしょうか? 答えは、なんと987通り! フィボナッチ数列であることに気づいていないと、とうてい解くことはできませんね。

【例題2】 タイルの並べ方は何通り?

このとき、「縦2cm×横4cm」の並べ方の「5通り」は、「縦2cm×横2cm」に並べた場合の「2通り」と、「縦2cm×横3cm」に並べた場合の「3通り」を合計したものと同じです。またしても、フィボナッチ数列が見えてきました。

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